a³+b³+c³=(a+b+c)³-3(a+b)(a+c)(b+c)
Vì a³+b³+c^3 \(⋮\)6 nên [(a+b+c)³-3(a+b)(a+c)(b+c)] \(⋮\)6
Mà trong 3(a+b)(a+c)(b+c) luôn có ít nhất 1 số chẵn ( xét các trường hợp a,b,c lần lượt là : lẻ, lẻ, lẻ; chẵn,chẵn, chẵn; chẵn, lẻ, lẻ; chẵn, chẵn, lẻ;chẵn lẻ chẵn; lẻ chẵn lẻ; lẻ chẵn chẵn; lẻ lẻ chẵn..[tìm thêm ])
nên 3(a+b)(a+c)(b+c)\(⋮\)6
=> (a+b+c)³ phải chia hết cho 6 
Lại có a,b,c là các số tự nhiên nên suy ra a+b+c phải chia hết cho 6.

a3+b3+c3=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2−ab−bc−ac)+3abc

a^3+b^3+c^3=(a+b+c)(a^2+b2+c^2−ab−bc−ac)+3abc

                    =(a+b+c)[a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc−3ac−3bc−3ab)+3abc=(a+b+c)[a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc−3ac−3bc−3ab)+3abc

                    =(a=b+c)[(a+b+c)2−3(ab+bc+ac)]+3abc=(a=b+c)[(a+b+c)2−3(ab+bc+ac)]+3abc

*Nếu a+b+c⋮3⇒a3+b3+c3⋮3a+b+c⋮3⇒a3+b3+c3⋮3

*Nếu a3+b3+c3⋮3⇒(a+b+c)[(a+b+c)2−3(ab+bc+ca)]⋮3

⇒a+b+c⋮3a3+b3+c3⋮3

⇒(a+b+c)[(a+b+c)2−3(ab+bc+ca)]⋮3

⇒a+b+c⋮3

=>đpcm

Mk nhác ghi mũ lắm thông cảm nha Vd; a2=a^2

ko bt

b) ta có: 30=2.3.5

\(a^2\equiv a\left(mod2\right)\Rightarrow a^4\equiv a^2\equiv a\left(mod2\right)\)

\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}a^5\equiv a^2\equiv a\left(mod2\right)\\b^3\equiv b\left(mod3\right)\\c^5\equiv c\left(mod5\right)\end{cases}\Rightarrow b^5\equiv b^3\equiv b\left(mod3\right)}\)

\(\Rightarrow a^5+b^5+c^5\equiv a+b+c\left(mod2.3.5\right)\)

\(a^2+b^2+c^2=\left(a+b+c\right)+\left(a^3-a\right)+\left(b^3-b\right)+\left(c^3-c\right)\)

\(=\left(a+b+c\right)+a\left(a^2-1\right)+b\left(b^2-1\right)+c\left(c^2-1\right)\)

\(=\left(a+b+c\right)+\left(a-1\right)\left(a+1\right)+\left(b-1\right)\left(b+1\right)+\left(c-1\right)\left(c+1\right)\)

\(mà\)\(a\left(a-1\right)\left(a+1\right)⋮6\)

\(b\left(b-1\right)\left(b+1\right)⋮6\)

\(c\left(c-1\right)\left(c+1\right)⋮6\)

\(a+b+c⋮6\)

\(\Leftrightarrow(a^3+b^3+c^3)⋮6\)\((đpcm)\)

a: \(A=\left(1+3\right)+...+3^{10}\left(1+3\right)\)

\(=4\left(1+...+3^{10}\right)⋮4\)

Thiếu điều kiện a,b,c thuộc Z

Ta có: \(a^3-a=a\left(a^2-1\right)=\left(a-1\right)a\left(a+1\right)\) là tích 3 số nguyên liên tiếp nên (a-1)a(a+1) chia hết cho 6

CM tương tự ta cũng có: \(b^3-b⋮6;c^3-c⋮6\)

\(\Rightarrow\left(a^3+b^3+c^3\right)-\left(a+b+c\right)⋮6\)

-Nếu \(a^3+b^3+c^3⋮6\Rightarrow a+b+c⋮6\)

-Nếu \(a+b+c⋮6\Rightarrow a^3+b^3+c^3⋮6\)

=>đpcm